Numerical Analysis- Midterm

April 8, 2025 15 분 소요

1. Vector

Primitive Vector & Geometry Concepts

1. Coordinate System

n차원 공간의 한 점은 실수의 순서쌍으로 표현됨

\[A = (a_1, a_2, \dots, a_n)\]

두 벡터 A, B의 덧셈과 뺄셈

\[A + B = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)\] \[A - B = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \dots, a_n - b_n)\]

스칼라 곱

\[kA = (ka_1, ka_2, \dots, ka_n)\]

2. Vectors

벡터: 크기(length)와 방향(direction)을 가짐
단위 벡터: 크기가 1인 벡터
자유 벡터: 시작점이 자유로움
고정 벡터: 시작점이 고정됨 (주로 원점 기준)

3. 벡터 연산

덧셈/뺄셈: 성분별 연산
내적 (Dot Product)

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]

⇒ 두 벡터가 수직이면

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

외적 (Cross Product) (3차원 전용)

\[\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)\]

⇒ 외적 결과 벡터는 벡터 a와 벡터 b 모두에 수직(perpendicular)이다.

4. 선형 독립 / 기저

벡터들이 선형 독립 ⇔

\[a_1x_1 + \dots + a_nx_n = 0\]

이 자명한 해만 가짐

선형 종속: 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현 가능
기저 벡터: 서로 선형 독립이고, 공간을 생성할 수 있는 최소 집합

5. 직선 (Lines)

2D

일반 표현

\[y = mx + b \quad \text{또는} \quad ax + by + c = 0\]

매개변수 표현

\[x = a + bu,\quad y = c + du\]

3D

일반 표현

\[\vec{x} = \vec{a} + u\vec{b}\]

두 점을 지나는 직선

\[\vec{x}(u) = (1 - u)\vec{p}_0 + u\vec{p}_1\]

6. 점과 직선의 관계

점 벡터 p 가 직선 x = a + u·b 위에 있는지 확인

\[\vec{p} = \vec{a} + u\vec{b}\]

를 만족하는 u가 존재하는지 확인

수치 오차 고려: 컴퓨터 구현 시 epsilon 범위로 판단

7. 평면 (Planes)

일반형 표현

\[ax + by + cz + d = 0\]

벡터 표현

점 + 법선 벡터

\[(\vec{x} - \vec{x}_0) \cdot \vec{n} = 0\]

점 + 두 방향 벡터

\[\vec{x} = \vec{x}_0 + u\vec{s} + v\vec{t}\]

8. 직선과 평면의 관계

직선:

\[\vec{x} = \vec{a} + u\vec{b}\]

평면:

\[(\vec{x} - \vec{x}_0) \cdot \vec{n} = 0\]

교차 조건

다음을 만족하면 교차:

\[\vec{b} \cdot \vec{n} \neq 0\]

다음을 만족하면 평행 또는 포함:

\[\vec{b} \cdot \vec{n} = 0\]

2. Matrix

기본 개념

행렬(Matrix): 숫자들을 직사각형 형태로 배열한 것
크기: m×n 행렬 → m행 n열
성분: 행렬 A의 (i, j)번째 성분 → a_ij

행렬 종류

행렬 종류	설명
정방 행렬 (Square)	행 = 열
행 벡터 (Row Vector)	행이 1개
열 벡터 (Column Vector)	열이 1개
대각 행렬 (Diagonal)	주대각선 외의 원소가 0
항등 행렬 (Identity)	주대각선은 1, 나머지는 0
대칭 행렬 (Symmetric)	A^T = A

행렬 연산

덧셈/뺄셈: 같은 크기의 행렬끼리 성분별 연산
스칼라 곱: 각 성분에 상수 곱
행렬 곱: A × B 가 정의되려면 → A의 열 수 = B의 행 수

\[(C)_{ij} = \sum_k A_{ik} \cdot B_{kj}\]

전치행렬 (Transpose)

\[A^T\]

행과 열을 뒤바꾼 행렬

역행렬 (Inverse Matrix)

정방행렬 A에 대해, A^{-1}이 존재하면:

\[AA^{-1} = A^{-1}A = I\]

조건: $\det(A) \ne 0$
계산법: 가우스-조르당 소거법 또는 공식 사용

행렬식 (Determinant)

정방행렬에 대해 정의됨
기호: A 또는 det(A)
2 X 2 행렬:

\[\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc\]

3 X 3 이상: 여인자 전개(cofactor expansion) 사용

고유값 & 고유벡터 (Eigenvalue & Eigenvector)

\[AX = \lambda X ( \lambda: 고유값, X: 고유벡터 )\]

특성 방정식 (Characteristic Equation):

\[\det(A - \lambda I) = 0\]

lambda 구한 후

\[(A - \lambda I)X =0\]

대각화 (Diagonalization)

정방행렬 A가 다음을 만족하면 대각화 가능:

\[A = P D P^{-1}\]

D: 고유값들로 구성된 대각 행렬
P: 고유벡터들을 열로 갖는 행렬

선형 연립방정식

행렬로 표현: AX = B
해 구하기:
- 역행렬이 존재하면:
  \[X = A^{-1}B\]
- 또는 가우스-조르당 소거법으로 풀이

가우스-조르당 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

시작: 확대 행렬 $[A \mid I]$
행 연산을 통해 왼쪽 A를 항등행렬 I로 만들면
오른쪽은 $A^{-1}$

3. Transformation

변환 (Transformation)의 개념

도형의 구조를 변화시키는 연산
종류: Translation, Scaling, Rotation, Shear, Affine, Linear, Homogeneous

Geometric Properties (불변 성질)

위치 (Position): 원점과의 거리
거리 (Distance): 두 점 간의 거리
각도 (Angle): 선 간의 기울기
방향성 (Orientation): 절대적인 각도
일직선성 (Collineation): 선을 선으로 유지

Collineation은 점이 일직선 상에 있는 관계를 유지하는 변환이다.

모든 선형/아핀/사영 변환은 collineation의 예시이다.

크기나 각도는 유지되지 않아도 되지만, 직선성과 정렬은 유지됨.

거리 보존 (Distance-preserving): 거리, 각, 면적, 부피 유지
등각성 (Conformal): 각 유지

변환 유형별 개요

변환 유형	특징
Isometry	거리 보존 (Translation, Rotation, Reflection 포함)
Similarity	Isometry + Scaling (형태 유지)
Shear	축을 따라 비틈 (기울어짐)
Affine	직선성, 평행성, 비율 유지
Linear	원점을 기준으로 선형 변환
Homogeneous	Translation 포함한 모든 변환을 행렬 곱으로 표현 가능

Isometry (등거리 변환)

Rigid-body transformation
변환 전/후 점 간의 거리 보존
일반적인 2D 이소변환 수식:

\[\begin{aligned} x' &= ax + by + t_x \\ y' &= cx + dy + t_y \\ \text{단, } \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \text{는 직교 행렬 (det=1)} \end{aligned}\]

Isometry는 거리, 각도, 면적 등을 그대로 유지하면서 위치만 바꾸는 변환이다.

대표적인 예: 평행이동, 회전, 대칭

도형의 모양과 크기를 바꾸지 않으며, 합동성(congruence)을 유지함

Similarity (유사 변환)

크기 비례 + 거리, 각도 보존
수식:

\[\begin{aligned} x' &= k(ax + by) + t_x \\ y' &= k(cx + dy) + t_y \\ \text{(k는 스케일 계수)} \end{aligned}\]

Shear (전단 변환)

x축 또는 y축을 따라 기울어지는 변환
수식:

\[\begin{aligned} x' &= x + ky \quad \text{(x 방향 shear)} \\ y' &= y + kx \quad \text{(y 방향 shear)} \end{aligned}\]

Shear (전단 변환)은 물체의 한 방향을 따라 기울이는 변환이다.

각도가 변하고 직각이 사라지며, 도형이 찌그러진다.

Affine Transformation(아핀 변환)

직선 → 직선, 평행선 → 평행선, 비율 유지
수식 (2D):

\[\begin{aligned} x' &= ax + by + t_x \\ y' &= cx + dy + t_y \end{aligned}\]

행렬 표현:

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}\]

Linear Transformation(선형 변환)

Translation 없이 선형 연산만으로 구성
행렬식(det) ≠ 0 이면 역변환 존재
일반 수식 (3D):

\[\begin{aligned} x' &= a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z \\ y' &= a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z \\ z' &= a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z \end{aligned}\]

Rotations (회전 변환)

회전은 원점을 기준으로 하는 선형 변환
거리와 각도 유지 → Isometry이기도 함

2D 회전

반시계 방향 theta 만큼 회전
수식:

\[\begin{aligned} x' &= \cos\theta \cdot x - \sin\theta \cdot y \\ y' &= \sin\theta \cdot x + \cos\theta \cdot y \end{aligned}\]

행렬 표현:

\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]

연속 회전 (Successive Rotations)

두 각도만큼 회전하면 행렬은 곱해짐:

\[R_{\theta_2} R_{\theta_1} = R_{\theta_1 + \theta_2}\]

원점이 아닌 점 P 기준 회전

P를 원점으로 이동
원점에서 회전
다시 P로 이동

수식:

\[X' = R (X - P) + P\]

행렬 형태로 표현 가능 (Homogeneous로 확장 가능)

3D 회전

x, y, z축을 기준으로 각각 회전 가능

예: z축 기준 회전

\[R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

마찬가지로 밑의 식도 정의됨 $R_x(\theta)$, $R_y(\theta$

Homogeneous Coordinates(확장 좌표계)

Translation을 포함한 변환을 행렬곱으로 표현 가능
포인트 확장: $(x, y) → (x, y, 1)$
변환 수식:

\[X' = TX = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}\]

여러 변환의 조합:

\[X' = T_3 T_2 T_1 X\]

역변환:

\[X = (T_3 T_2 T_1)^{-1} X'\]

Homogeneous Coordinates(동차 좌표)는 (x, y)를 (x, y, 1)로 확장한 좌표계이다.

이를 사용하면 이동, 회전, 확대/축소, 전단, 원근 변환을 모두 하나의 행렬로 표현할 수 있다.

행렬 곱만으로 모든 변환을 통합할 수 있어 컴퓨터 그래픽스, 비전, 로봇공학에서 널리 사용된다.

요약

Homogeneous Coordinates Transformation Matrices

Scale Matrix (S)

\[S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Translate Matrix (T)

\[T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Rotate Matrix (R in 2D)

\[R = \begin{bmatrix} R & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

R is a 2×2 rotation matrix such as*

\[R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\]

4. Ortho

Orthogonal Matrix (직교 행렬)

정의: 행렬 A가 직교 행렬이면, 다음을 만족함

\[A^T A = AA^T = I \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = A^T\]

Orthonormal 벡터 집합: 각 벡터가 단위 벡터이고 서로 수직일 때
정리:
- 행렬 A가 오르토노멀 벡터 을 열로 가지면 → 직교 행렬
- 각 열끼리 내적: $\vec{v}_i \cdot \vec{v}_j = \delta_{ij}$

성질: 직교 행렬의 기하적 의미

직교 행렬 M은 길이와 각도 보존

길이 보존:

\[\|MX\| = \|X\|\]

각도 보존:

\[\cos \theta = \frac{X \cdot Y}{\|X\|\|Y\|} = \frac{MX \cdot MY}{\|MX\|\|MY\|}\]

⇒ 회전 행렬은 직교 행렬의 예

회전 행렬 예시

2D 회전 행렬:

\[R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad R^{-1} = R^T\]

3D 회전 행렬: R(x,y,z) 존재하며 모두 직교 행렬

Normal Vector의 변환

법선 벡터 N이 변환 후에도 여전히 표면에 수직인가?
변환 행렬 M이 직교 행렬이면, 법선 벡터도 올바르게 변환됨

\[(MN)^T (MT G) = N^T G = 0\]

좌표계 변환 (Transformation of Coordinate System)

1. 평행이동 좌표계

좌표계의 평행이동은 점을 반대 방향으로 이동시키는 것과 동일

\[X' = T^{-1}X\]

2. 회전 좌표계

좌표계 회전은 점을 반대 방향으로 회전시키는 것과 동일

\[X' = R^{-1}X\]

3. 회전 + 이동

회전 + 이동을 함께 수행하는 경우:

\[X' = (TR)^{-1} X = R^{-1} T^{-1} X\]

3D 좌표계 변환

새로운 좌표계는 다음으로 정의됨:
- 원점 위치: (a, b, c)
- 축 방향: $U = (u_x, u_y, u_z), V, N$
변환 수식:

\[X' = R^{-1} T^{-1} X\]

T: 원점 이동
R: 축 회전
R의 행은 각 축 벡터 (U,V,N)

5. Rotation

반사 (Reflection) & 반전 (Inversion)

Origin 기준 반전: $\vec{X}' = -\vec{X}$
점 P(a, b) 기준 반전: $\vec{X}' = 2P - \vec{X}$
x축, y축 반사:
- x축: (x, -y)
- y축: (-x, y)
직선 기준 반사 (원점 통과, 각도 theta):

\[\vec{X}' = R(-\theta) \cdot F \cdot R(\theta) \cdot \vec{X}\]

3D 평면 기준 반사:
- xy-plane: (x, y, -z)
- yz-plane: (-x, y, z)
- xz-plane: (x, -y, z)

기본 회전 (3D 회전 행렬)

Z축 기준 회전 (θ):

\[R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Y축 기준 회전 (β):

\[R_y(\beta) = \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix}\]

X축 기준 회전 (α):

\[R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\]

임의의 축 주위 회전 (Arbitrary Axis Rotation)

단계별 구성 (축 A, 회전 각 θ)

z축 회전으로 축 A를 xz평면으로 보냄
y축 회전으로 x축에 일치시킴
x축 기준 θ 회전
y축 -β로 역회전
z축 -α로 역회전

최종 회전 행렬:

\[R = R_z(-\alpha) R_y(-\beta) R_x(\theta) R_y(\beta) R_z(\alpha)\]

벡터 분해 기반 회전 표현

벡터 P를 회전축 A에 평행 성분 P_{ }와 수직 성분 P_{perp}로 나눔:

\[P = P_{||} + P_{\perp}\]

회전 후:

\[P' = P_{||} + \cos\theta \cdot P_{\perp} + \sin\theta \cdot (A \times P_{\perp})\]

이를 통해 직접 벡터 연산으로 회전 결과를 구할 수 있음

proj_P(v)는 벡터 v의 P 방향 성분이며, 내적을 통해 구함

perp_P(v)는 v에서 P 방향 성분을 제외한 수직 성분

회전은 proj 성분은 그대로 두고, perp 성분만 회전시킴

Euler Angles (오일러 각도)

임의의 회전을 3개의 축 회전 조합으로 표현
예시:
- Z-X-Z: $R = R_z(\gamma) R_x(\beta) R_z(\alpha)$
- Z-X-Y: $R = R_z(\gamma) R_x(\beta) R_y(\alpha)$
Gimbal Lock 주의
특정 회전 조합에서 자유도가 1개 사라지는 현상 발생
→ 회전축이 정렬되어 회전 방향을 잃게 됨

Quaternion (쿼터니언)

오일러 각보다 부드러운 회전, 보간(Interpolation)에 적합
형식: $q = w + xi + yj + zk$
축 A와 각 theta로부터 쿼터니언 생성:

\[q = \left( \cos\frac{\theta}{2},\ a_x \sin\frac{\theta}{2},\ a_y \sin\frac{\theta}{2},\ a_z \sin\frac{\theta}{2} \right)\]

회전을 행렬로 변환 가능 (Rotation matrix from quaternion)
보간(Interpolation): 4D 단위구(sphere) 상에서의 선형 보간 (SLERP)

요약: 회전 표현 방식 비교

방식	특징	장점	단점
행렬 (Rotation Matrix)	직관적, 조합 가능	계산 단순, 선형 변환과 호환	Gimbal Lock 발생 가능
오일러 각 (Euler Angles)	3개 각도로 분해 표현	이해 쉬움, 수치 표현 간단	자유도 손실 (Gimbal Lock)
쿼터니언 (Quaternion)	4차원 복소수, 축과 각 기반 표현	부드러운 회전, 보간 우수	직관적 해석 어려움

Projection (투영)

개념

3D 공간에서 2D 화면(예: 스크린)으로 변환하는 방법
크게 두 가지 방식:
- 평행 투영 (Parallel or Orthographic)
- 원근 투영 (Perspective)

평행 투영 (Parallel Projection)

길이: 비례 유지 가능 (scale될 수 있음)
각도: 유지되지 않을 수 있음
선의 평행성: 유지됨 (중요)
투영 평면이 z = d일 때 투영 행렬:

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

원근 투영 (Perspective Projection)

길이와 각도: 유지되지 않음
평행선: 교차 가능 (소실점 발생)
근접 객체: 더 크게 보임 (foreshortening 효과)
투영 평면이 z = d일 때:

\[x' = \frac{d}{z}x, \quad y' = \frac{d}{z}y\]

동차좌표(homogeneous coordinates)를 사용하면 행렬 곱으로 표현 가능:

\[\text{w'} = z, \quad x' = \frac{x}{z},\quad y' = \frac{y}{z}\]

Lines in 3D Space

1. 직선의 정의

한 점 S를 지나고 방향 벡터 V를 가질 때:

\[P(t) = S + tV\]

2. 점과 직선 사이 거리

점 Q가 주어졌을 때 거리 d:

\[d = \frac{\| (Q - S) \times V \|}{\|V\|}\]

3. 두 직선 사이의 거리

직선 1: P_1 = S_1 + t_1V_1
직선 2: P_2 = S_2 + t_2V_2
최소 거리 d는 다음 조건 하에서 발생:

\[\frac{\partial f}{\partial t_1} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial t_2} = 0\]

행렬 계산으로 t1, t2 를 구해 거리 계산

Planes in 3D Space

1. 점과 평면 사이 거리

평면: ax + by + cz + d = 0
법선 벡터 N = (a, b, c)
점 Q가 평면에 대해 갖는 거리:

\[d = \frac{N \cdot (Q - P)}{\|N\|}\]

(P는 평면 위의 한 점)

2. 직선과 평면의 교차

직선: P(t) = S + tV
평면: $N \cdot (X - P) = 0$
교점 t 값은 다음과 같이 구함:

\[t = \frac{N \cdot (P - S)}{N \cdot V}\]

\[N \cdot V = 0$\]
이면 평면과 직선은 평행함

3. 두 평면의 교선 (intersection line)

평면 1: 법선 N_1, 점 P_1
평면 2: 법선 N_2, 점 P_2
교선 방향: $N_1 \times N_2$
교선 상의 점 Q는 두 평면을 동시에 만족하는 점을 계산하여 구함

4. 세 평면의 교점

평면 i: 법선 N_i, 점 P_i
선형 연립방정식을 구성해 다음을 만족하는 Q 구함:

\[(Q - P_i) \cdot N_i = 0 \quad (i = 1,2,3)\]

행렬 방정식으로 정리하면:

\[Q = M^{-1} B\]

평면의 변환 (Transforming Planes)

평면 $N \cdot X + d = 0$ 의 변환
변환 행렬 M이 주어졌을 때:

\[N' = (M^{-1})^T N\] \[d' = -N' \cdot (M P)\]

평면의 새로운 수식: $N' \cdot X + d' = 0$

6. Curves

곡선 표현 방식의 개요

임시적 표현 (Implicit) $f(x, y) = 0$
매개변수 표현 (Parametric) $x = x(u),\ y = y(u),\ z = z(u)$
매개변수 곡선 $p(u) = (x(u), y(u), z(u))^T$ 미분 -> 곡선의 접선 방향 (속도, 방향성) $p'(u)$

Cubic Curve (다항식 곡선)

일반적인 3차 다항식

\[p(u) = c_0 + c_1u + c_2u^2 + c_3u^3\]

보통 곡선 구간을 아래 범위로 지정하고, 여러 개를 이어서 길게 구성함. $u \in [0,1]$

Interpolation (보간법)

4개의 점을 이용해 하나의 곡선을 정의 $p_0, p_1, p_2, p_3(1)$
- 행렬 형식:

\[p(u) = u^T M_I p\]

보간 행렬(Interpolation Matrix) $M_I$
Blending Functions : 각 점에 대한 가중치 함수 $b_i(u)$

Hermite Curves

보간법의 문제 : Join Points가 smooth하지 않음.
종단점의 위치와 접선(미분값)을 이용해 곡선을 구성
조건

\[\begin{aligned} p(0) &= p_0 \quad &p(1) &= p_1 \\ p'(0) &= t_0 \quad &p'(1) &= t_1 \end{aligned}\]

행렬 표현:

\[p(u) = u^T M_H q, \quad q = [p_0, t_0, p_1, t_1]^T\]

장점: 접선 제어 가능 → C1 연속성 확보

Bezier Curves

4개의 제어점 사용 $p_0, p_1, p_2, p_3$

이 중에서 $p_1, p_2$ 는 곡선이 지나지 않지만 곡선의 형태를 조정

접선은 점 간의 차이로 근사

\[p'(0) = 3(p_1 - p_0), \quad p'(1) = 3(p_3 - p_2)\]

행렬 표현:

\[p(u) = u^T M_B p\] \[M_B : Bezier Matrix\] \[b_i(u) : Bernestenin 다항식\]

Levels of Continuity

곡선의 연속성의 level

연속성 종류	설명
C0, G0	위치 연속 (점만 일치)
C1	접선 방향 일치 (부드러운 연결)
C2	곡률까지 연속 (더 부드러움)
G1	방향만 같고, 크기는 달라도 됨 (기하 연속성)

C0 : Interpolation => Continuous, but not necessarily smooth

C1 : Hermite => Can make derivatives match at join point

C0 : Bezier => The derivative might not match at the join point

B-Splines

4개의 제어점 사용하지만 중간 2점을 기준으로 보간
Hermite + Bezier 장점 결합:
- Hermite처럼 C2 연속성 확보
- Bezier처럼 제어점 기반 구성
조건식 예시:

\[\begin{aligned} p(0) &= \frac{1}{6}(p_0 + 4p_1 + p_2) \\ p'(0) &= \frac{1}{2}(p_2 - p_0) \\ p(1) &= \frac{1}{6}(p_1 + 4p_2 + p_3) \\ p'(1) &= \frac{1}{2}(p_3 - p_1) \end{aligned}\]

행렬 표현:

\[p(u) = u^T M_S p\]

장점: 곡선들이 자연스럽게 이어짐, 부드러운 곡선 생성

7. Surfaces

곡면의 필요성

물체의 경계(boundary)를 정밀하게 표현하기 위해 사용
Polygonal Meshes : 다각형 면으로 근사
Surface Patches : 매끄러운 곡면 패치들로 표현
표현방식

암시적 표현 (Implicit Surface) $f(x, y, z) = 0$
매개변수 곡면 (Parametric Surface) $p(u, v) = \begin{bmatrix} x(u, v) \\ y(u, v) \\ z(u, v) \end{bmatrix}$
- 여러 개의 곡면 패치를 이어 붙여 복잡한 형상 구성

Bilinear Surface

4개의 꼭짓점을 이용한 선형 보간 $p_{00}, p_{10}, p_{01}, p_{11}$
\[p(u, v) = (1 - u)(1 - v)p_{00} + u(1 - v)p_{10} + (1 - u)v p_{01} + uv p_{11}\]

장점 : 구현이 간단함

단점 : 경계가 직선이며, 전체적으로 평평한 형태

Bi-cubic Surface

u,v 방향을 각각 3차 다항식을 사용

\[p(u, v) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} c_{ij} u^i v^j\]

경계 곡선: Hermite 곡선
내부 제어 가능하지만, twist vector 설정이 직관적이지 않음

Bezier Surface

Bezier 곡선의 2D 확장 형태

\[p(u, v) = \sum_{i=0}^3 \sum_{j=0}^3 b_i(u) b_j(v) P_{ij}\]

장점:
- 경계가 Bezier 곡선
- 직관적인 제어
- 미분, 점 평가 용이
단점:
- 로컬 제어 불가 (한 점을 움직이면 전체 영향)

Spline Surface

B-Spline 곡선을 2D로 확장한 곡면
제어점 16개 사용: (4x4)
수식:

\[p(u, v) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} B_i(u) B_j(v) P_{ij}\]

행렬 표현:

\[p(u, v) = [u^3, u^2, u, 1] M_S^T P M_S [v^3, v^2, v, 1]^T\]

곡면 렌더링

곡선 또는 곡면을 렌더링할 때는 여러 점을 샘플링해서 선분 또는 면을 그림
정밀도 향상: u, v 값을 더 많이 나누어 평가

Bezier 곡선 분할 (Subdivision)

곡선을 두 개로 나눔: $l(u), r(u)$
점 간 보간으로 제어점 재계산 가능

기하학적 방식:

l1 = (p0 + p1)/2
l2 = (l1 + (p1 + p2)/2)/2
l3 = r0 = (l2 + r1)/2

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